中学一年生で1次方程式を勉強しました。
今までＸを求めろ、求めろ、と言われ続け、
頑張って勉強してきましたが、
二年生になると、今度はＸだけではなく、
Ｙ も出てきます。
Ｘだけではなく、Ｙも求めろ。
と言われてしまいます。
このＸとＹ２つの数をもとめることが、
二年生で習う連立方程式です。
でも、実は、連立方程式の方が、
式を作りやすい場合もあるのです。
どんな問題なんでしょう。
ワクワクしてきませんか？
では、実際の問題を解きながら、
1次方程式と連立方程式の違いを
みていきましょう。
数の問題にチャレンジ
この問題は連立方程式での問題として
出されていますので、
まずは蓮立方程式で解いてみましょう。
位の数をかえてみたら・・・
| 一の位の数と、十の位の数が等しい３けたの 自然数がある。 この数の各位の数の和は１７であり、百の位の数字と 一の位の数字を入れ替えて出来る数はもとの数より１９８小さくなる。このとき、もとの自然数を求めなさい。 |
解答(連立方程式の場合)
まず、たとえば、
「３けたの自然数」といわれたら、
適当な数字を３４５とします。
読み方は、さんびゃく、よんじゅう、ご
と読みますよね。
そのまま数字に直してみると、
どのような数字でできているかというと、
３００と４０と５
という数字でできています。
もっと細かく見てみましょう。
３という数字と１００(これが百の位）
いわゆる３×１００
４という数字と１０（これが十の位）
いわゆる4×１０
５という数字と１（これが一の位）
いわゆる５×１
３００＋４０＋５＝３４５
今、３．４．５という数字がわかって
いない状態ですよ。
そのためＸとYを使いましょう。
条件は「十の位と一の位が等しい」ということなので、
どっちもＹの数にします。
百の位がＸ、十と一の位がＹ
先ほど説明した通り、
Ｘという数字と１００(Ｘ×１００)
Ｙという数字と１０(Ｙ×１０)
Ｙという数字と１(Ｙ×１)
これを数式にします。
１００Ｘ＋１０Ｙ＋Ｙ となります。
条件は「この数の各位の数の和は１７」
和、ってたし算の答えですよ。
各位の数はＸとＹとＹ
これをたします。
Ｘ＋Ｙ＋Ｙ＝１７
Ｘ＋２Ｙ＝１７・・連立方程式の一つ目の式
次の条件「百の位の数字と一の位の数字を
いれかえてできる数」
百の位の数はＸ、一の位の数はＹ
これを変えると
１００Ｙ＋１０Ｘ＋Ｘ となる。
もとの数から変えた数をひいた数を１９８
１００Ｘ＋１０Ｙ＋Ｙ－（１００Ｙ＋１０Ｘ＋X）＝１９８
１００Ｘ＋１０Ｙ＋Ｙ－１００Ｙ－１０Ｘ－Ｘ＝１９８
９９X－９９Y＝１９８
なるべく簡単にしましょう。
方程式なので全部同じ数で割ったりできるよ。
すべて９９で割ってみましょう。
X－Y＝２
えらく簡単になりました。
Ｘ＋２Ｙ＝１７
Ⅹ－Ý＝２
もうちょっとだあ
この連立方程式を解いていきます。
代入法が簡単です。
X＝１７－２Y
（１７－２Y）－Y＝２
１７－２Y－Y＝２
－３Y＝２－１７
―３Y＝－１５
Y＝５
X＝１７－１０
X＝７
答え ７５５
これを、一年生の方程式でも解けるでしょうか。
方程式の場合
方程式の場合は式が一つなので、
Ｘだけになりますね。
ですから、
Ｙの部分をＸを使って、
表さなければなりません。
「この数の各位の数の和は１７」
と条件があったことから、
Ｘ＋Ｙ＋Ｙ＝１７なので、
Ｙ＋Ｙ＝１７－Ｘ
Ｙ＝½（１７－Ｘ）となりますね。
これを、また式に代入していくのですが、
１００Ｘ＋１０【½（１７－Ｘ）】＋【½（１７－Ｘ）】
－100【½（１７－Ｘ）】＋１０【½（１７－Ｘ）】＋Ｘ
＝１９８
なんだか面倒くさい式になってしまいました。
これでも、答えはちゃんとＸ＝７
になるんですよ。
でも、計算を見ただけで、
やる気がなくなりますよね。
ですから、この問題は連立方程式で
解いていった方がいいんですね。
１次方程式の利用
今度は、一年生の１次方程式の利用から、
問題をみてみましょう。
ある数Ｘ
| ある数の５倍から１２をひいた数と、ある数の３倍に
１４をたした数は等しくなります。 ある数をＸとして方程式を作り、ある数を求めなさい。 |
こちらもそのまま言われた通りに
式を作っていきます。
まず、「ある数をＸとして」なので
「ある数の５倍から１２をひいた数」
は ５Ｘ－１２
と表すことができます。
次に、
「ある数の３倍に１４をたした」
は ３Ｘ＋１４
と表します。
この２つが等しいので、
５Ｘ－１２＝３Ｘ＋１４
５Ⅹ－３Ｘ＝１４＋１２
２Ｘ＝１６
Ｘ＝８
こちらの問題は、言われた通りに
式にしていくだけなので、
問題はないかと思います。
言葉を数字に
これらのように、問題をひも解いて
いくと、連立方程式か１次方程式が
わかってきます。
言葉を数字にすることは
難しいことではありません。
～倍 は かけ算
和 は たし算の答え など。
言葉の意味を理解して、
色々な問題に
チャレンジしていきましょう。
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特別編 数字の表し方 ２ケタの数字 １０Ｘ＋Ý |
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