中学３年数学～受験問題～図形問題
下の図において、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形です。
対角線ＡＣ、ＢＤの交点をＯ とします。また、
ＢＣの中点をＭとし、対角線ＢＤと線分ＡＭの交点を
Ｎとします。ＢＤ１２ｃｍの時、次の問いに答えなさい。
⑴ 線分ＢＮの長さを求めなさい。
⑵ 四角形ＡＢＣＤの面積は、△ＢＭＮの面積の何倍あるか
求めなさい。
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⑴ 中点連結定理を使います。
△ＡＢＣでの中点連結定理を使うと
ＢＮ：ＯＮ＝２：１
ＢＯ＝６㎝
なので、６÷３＝２㎝
２㎝×２＝４㎝
答え ４㎝
⑵ こちらも中点連結定理です。
△ＡＢＣは平行四辺形ＡＢＣＤの１／２
△ＡＢＭは△ＡＢＣの１／２
△ＡＢＣで中点連結定理から、
ＡＮ：ⅯＮ＝１：２
△ＡＢＭを三等分したうちの一つ。
なので、△ＡＢＭの１／３
これをまとめると、
１／２ × １／２ × １／３ ＝
１／１２
平行四辺形ＡＢＣＤからみて
△ＢⅯＮの面積は１／１２倍
問題は逆なので１２倍
答え １２倍
そしたら、次の問題をやってみましょう。
下の図のように、ＡＢ、ＣＤ、ＥＦが平行で、ＡＢ＝１５㎝、
ＥＦ＝３㎝の図形がある。ＣＤの長さを求めなさい。
① △ＡＢＤと△ＥＦＤの比を考えましょう。
ＡＢとＥＦは平行なので、このふたつの三角形は相似ですね。
ＡＢ：ＥＦ＝１５：３
ＢＦ：ＦＤは？１５：３？
違いますね！！
ＢＤ：ＦＤが１５：３です！
なので１２：３です。
ここで間違わないように！！
②ＢＦ：ＦＤ＝１２：３
を頭において、
今度は△ＣＢＤと△ＥＢＦで考えます。
こちらもＣＤとＥＦが平行なので、相似ですね。
対比はＢＦ：ＢＤ＝１２：１５になります。
実際の長さはＢＦ：１２：３㎝＝ＢＤ：１５：Ｘ㎝
の比の計算でＸを求めていきます。
１２Ｘ＝４５
Ｘ＝４５／１２
約分して１５／４
答え １５／４㎝
平行四辺形の問題は出やすいです。
平行四辺形の中に相似な三角形を見つけることと、
△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ
ＡＤ：ＡＢ＝ＡＥ：ＡＣ＝ＤＥ：ＢＣ
ＡＤ：ＤＢ＝ＡＥ：ＥＣ
平行な線の中の三角形はどんな三角形でも高さは
同じなので、面積は同じです。
△ＡＢＣ＝△Ａ’ＢＣ
それと、中点連結定理も忘れずに！
一つ一つひも解いていきましょう。
中点連結定理とは？
 DSC_0080 ＡＭ＝ＭＢ、 ＡＮ＝ＮＣ ならば ＭＮ//ＢＣ ＭＮ＝½ＢＣ |
おまけ
相似な図形の面積比と体積比
平面図形
相似比 ｍ：ｎ
面積比 ｍ²：ｎ²
立体
表面積の比 ｍ²：ｎ²
体積比 ｍ³：ｎ³
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